Énumération des permutations par nombre de marches

— A step in a permutation a: a2.. .aH isanatsuch thatai+] = af — 1 . Itis proved that the number M (n, k) of permutations with exactly k steps is given by M (n, k) = ( J d (n — k + \)i{n — k) where d{n) is the number of dérangements (permutations with every element displaced). INTRODUCTION Les propriétés combinatoires des permutations, notamment rémunération des permutations suivant le nombre de leurs pics, creux, montées, descentes, ont trouvé récemment des applications remarquables à l'évaluation de certaines structures de données [4], On s'est depuis longtemps intéressé à l'énumération des permutations en fonction du nombre de leurs descentes, c'est-à-dire que pour une permutation a = a (1) . . . a (n) on comptait sous diverses conditions le nombre des i tels que a( i )>a( i+l ) ( l^ ia(i+l). On s'intéresse ici, dans un premier temps, au cas où CT(Ï) —a (i4-1) = 1. Ainsi, on dit qu'une permutation a (1) . . . a (n) présente une marche s'il existe ï(l<^i<n) tel que a(i) = a(f+1)+1. Nous calculons ici le nombre de permutations de [n] qui ont un nombre donné k de marches. (*) Reçu mai 1978, révisé octobre 1978. l) Université de Picardie, Amiens, et L. A. « Informatique théorique et Programmation », Paris. R.A.LR.O. Informatique théorique/Theoretical Informaties, 0399-0540/1979/251/$ 4.00 © Bordas-Dunod